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质因数分解

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关于某个数的质因数的分解问题，可以考虑\(O(\sqrt{n})\)的暴力分解（枚举2到\(\sqrt{n}\)），或者预处理出质数表，然后再枚举质因子，时间复杂度可以减少到\(O(\sqrt{n/log\,n})\)。这里要介绍的是根据质数判定+Pollard Rho得到的一个比较优良的分解质因数的算法。

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#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define LL long long

const int MAXN=100;

LL gcd(LL a,LL b){
    if(!b)return a;
    return gcd(b,a%b);
}

LL qpow(LL a,LL b,LL mod){
    LL res=1,base=a%mod;
    for(;b;b>>=1,base=(__int128_t)base*base%mod)if(b&1){
        res=(__int128_t)res*base%mod;
    }   
    return res;
}

//Miller Rabin
LL MR(LL p){
    if(p<2)return 0;
    if(p==2)return 1;
    if(p==3)return 1;
    LL d=p-1,r=0;
    while(!(d&1))d>>=1,++r;
    for(LL k=1;k<=10;++k){
        LL a=rand()%(p-2)+2;
        LL x=qpow(a,d,p);
        if(x==1||x==p-1)continue;
        for(int i=1;i<=r-1;++i){
            x=(__int128_t)x*x%p;
            if(x==p-1)break;
        }
        if(x!=p-1)return 0;
    }
    return 1;
}

// Pollard Rho
LL PR(LL x){
    LL s=0,t=0;
    LL c=1ll*rand()%(x-1)+1;
    int step=0,goal=1;
    LL val=1;
    for(goal=1;;goal<<=1,s=t,val=1){
        for(step=1;step<=goal;++step){
            t=((__int128_t)t*t+c)%x;
            val=(__int128_t)val*abs(t-s)%x;
            if((step%127)==0){
                LL d=gcd(val,x);
                if(d>1)return d;
            }
        }
        LL d=gcd(val,x);
        if(d>1)return d;
    }
}

LL fac[MAXN],cnt[MAXN],tot,len,ufac[MAXN];

// 分解质因数
void divide(LL n){
    if(n<2)return;
    if(MR(n)){
        fac[++tot]=n;
        return;
    }
    LL d=n;
    while(d>=n)d=PR(n);
    divide(d);
    divide(n/d);
}

//排序去重加计数
void brk(int n){
    memset(cnt,0,sizeof cnt);
    tot=0;
    divide(n);
    sort(fac+1,fac+tot+1);
    for(int i=1;i<=tot;++i){
        if(fac[i]!=fac[i-1])ufac[++len]=fac[i];
        ++cnt[len];
    }
}

int main(){
    srand((unsigned)time(nullptr));
    brk(100000000);
    for(int i=1;i<=len;++i){
        cout<<ufac[i]<<' '<<cnt[i]<<'\n';
    }
    return 0;
}